외심과 내심, 거리의 기준을 먼저 구별하기

외심과 내심을 헷갈릴 때는 교점의 이름을 외우기 전에 ‘어디까지의 거리가 같은가’를 묻는 편이 빠르다. 외심은 세 꼭짓점까지의 거리가 같고, 내심은 세 변까지의 거리가 같다. 뒤의 ‘변까지 거리’는 아무렇게나 이은 선분이 아니라 그 변에 수직인 선분의 길이다.

외심을 찾는 순서

삼각형의 한 변을 반으로 나눈 뒤 그 변과 수직인 선을 그으면 수직이등분선이다. 두 변의 수직이등분선이 만나는 점이 외심이다. 이 점에서 세 꼭짓점까지 선분을 그으면 길이가 모두 같다. 원을 떠올린다면 외심은 세 꼭짓점을 지나는 원의 중심이다.

내심을 찾는 순서

각의 크기를 반으로 나누는 선이 각의 이등분선이다. 두 각의 이등분선이 만나는 점이 내심이다. 이 점에서 세 변에 수선을 내리면 그 수선의 길이가 같다. 세 변에 모두 접하는 원의 중심이라고 생각해도 좋다.

시험장에서 자주 하는 실수

외심 문제에서 꼭짓점까지의 거리 대신 변까지의 거리를 같다고 두면 식이 처음부터 틀어진다. 내심 문제에서는 선분이 변에 수직이라는 표시를 확인하지 않고 길이를 같다고 두는 일이 흔하다. 그림에 외심이면 꼭짓점 세 곳을, 내심이면 세 변에 내린 수선을 먼저 표시하자.

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다. 이것은 외심의 정의와 모순되지 않는다. 빗변의 중점에서 세 꼭짓점까지 거리가 같은 특수한 경우다.

3분 복습

1. 외심은 어떤 선 두 개의 교점인가?
2. 내심에서 세 변까지 같은 것은 무엇의 길이인가?
3. ‘세 꼭짓점까지 같은 거리’라는 문장을 보면 어떤 중심을 떠올릴까?

정답은 순서대로 수직이등분선, 수선의 길이, 외심이다. 정답만 기억하기보다 그림에서 같은 길이를 직접 표시해 보면 오래 남는다.