도형 문제에서 가장 위험한 순간은 익숙한 성질 하나를 보고 도형의 이름을 바로 정할 때다. 마름모의 두 대각선은 수직이지만, 두 대각선이 수직인 사각형이 모두 마름모인 것은 아니다. ‘마름모라면 성립한다’와 ‘이 조건이면 마름모다’는 방향이 다른 문장이다.
성질과 판별의 차이
이미 마름모라는 사실을 알고 있다면 네 변의 길이가 같고 대각선이 수직이라는 성질을 쓸 수 있다. 반대로 처음 보는 사각형의 이름을 판단할 때는 충분한 조건이 필요하다. 대표적으로 네 변의 길이가 모두 같으면 마름모라고 판단할 수 있다. 평행사변형임을 먼저 확인했다면, 이웃한 두 변이 같다는 추가 조건으로도 마름모가 된다.
대각선이 서로 수직인 연꼴 모양을 그려 보자. 두 쌍의 이웃한 변 길이는 같지만 네 변이 모두 같은 것은 아닐 수 있다. 이 그림 하나만으로 ‘대각선이 수직이면 무조건 마름모’라는 주장이 왜 틀리는지 확인된다.
풀이 전 확인표
- 처음부터 평행사변형이라는 정보가 있는가?
- 같은 길이라고 표시된 변은 몇 개인가?
- 대각선이 수직인지, 서로를 이등분하는지 각각 따로 주어졌는가?
- 결론에 필요한 조건을 모두 사용했는가?
특히 ‘대각선이 수직’과 ‘대각선이 서로를 이등분’은 전혀 다른 표시다. 첫째는 만나는 각이 직각이라는 뜻이고, 둘째는 교점이 각 대각선의 중점이라는 뜻이다. 두 사실을 섞어 읽지 말자.
확인 문제
문제 1. 사각형의 두 대각선이 수직이다. 반드시 마름모인가? 답: 아니다. 추가 조건이 필요하다.
문제 2. 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이다. 마름모인가? 답: 그렇다.
오답을 고칠 때는 ‘틀린 이름’을 지우는 데서 끝내지 말고, 부족했던 조건을 한 줄로 써 보자. 예를 들어 “수직만 확인했고 네 변의 길이는 확인하지 않았다”라고 적으면 다음 문제에서 같은 실수를 줄일 수 있다.